微积分

Posted by allon li on 2017-11-22

微积分

微积分是描述两个函数关系的学科,函数一为原函数,函数二为微分函数。

微分 - 从函数一求函数二就是微分

△y、△x表示很小的一段,dy、dx表示极限小接近0但不是0。

dydx=limΔyΔx\frac{dy}{dx} = lim\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}

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推导y=x2y=x^2 的微分函数
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  • dydx\frac{dy}{dx} 简写为 y`,二阶导数简写为y’’
  • 一阶导数正负表示增长,二阶导数正负表示凹凸。凹:向下弯曲;凸:向上弯曲。
  • 拐点的 y’’=0

积分 - 从函数二反求函数一就是积分(原函数是其导数的积分)

  • 方法一:函数一是函数二倒过来的函数,分别有算术法和代数(字母)法。通过推导哪些函数的微分函数是已知函数。【主要是求和】
  • 方法二:函数一是函数二图像下的面积。通过面积求原函数,原函数是x到0围成的面积。

乘法和除法法则

乘法法则
若:

P(x)=f(x).g(x)P(x) = f(x).g(x)

则有:

dPdx=f(x)dgdx+g(x)dfdx\frac{dP}{dx}=f(x)\frac{dg}{dx} + g(x)\frac{df}{dx}

非常重要的公式

f(x)=xnf(x) = x^n

f(x)的导数为:

df(x)dx=ddxxn=nxn1\frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

除法法则

ddx(f(x)g(x))=g(x).df(x)dxf(x).dg(x)f(x)g(x)2\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\frac{g(x).df(x)}{dx}-\frac{f(x).dg(x)}{f(x)}}{g(x)^2}

链式法则

dzdx=dzdydydx\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}